Nash Equilibrium

Joshn Forbes Nash a încetat din viață pe data de 23 mai 2015, într-un accident de mașină.
A fost un matematician de geniu și a avut o contribuție importantă în teoria jocului, geometria diferențială și ecuațiile diferențiale.
Teoriile sale au aplicație practică în economie, biologie, inteligență artificială și strategii militare. Pentru rezultatele sale în ceea ce privește teoria jocului (game theory) a fost recompensat în 1994 cu premiul Nobel pentru economie.

Se spune că uneori prea multă minte strică. Din păcate a fost și cazul lui John Nash. Dacă în ceea ce privește matematica mintea lui era într-adevăr strălucită, în rest i-a jucat feste - a suferit de paranoia schizofrenică.
Mintea sa atât de constrastantă a inspirat și un film de mare succes (4 premii Oscar) -A Beutiful Mind

În memoria lui aș vrea să vorbesc despre Nash Equilibrium (echilibru Nash) și teoria jocului.

Cea mai celebră exemplificare este dată de ”Prisoners' Dilemma” (dilema prizonierilor.

Presupunem că 2 hoți - Alin și Bogdan au fost prinși într-o seară de către polițiști când încercau să spargă o mașină. Polițiștii îi suspectează pe cei 2 că au mai spart și alte mașini, dar nu au dovezi decât pentru ultimul caz în care au fost prinși în flagrant.

Singura șansă a polițiștilor de a dovedi alte infracțiuni este să îi facă pe amândoi să mărturisească singuri ce au mai făcut. Așa că polițiștii îi duc pe Alin și pe Bogdan la interogatoriu în 2 camere separate.

Și aici începe teoria jocului:
- Dacă niciunul dintre prizonieri nu mărturisește nimic în plus atunci amândoi se aleg cu câte 2 ani de pușcărie
- Dacă unul mărturisește și celălalt neagă atunci primul primește 1 an de pușcărie (i se scade 1 an pentru cooperare), iar celălalt primește 10 ani (pedeapsa maximă)
- Dacă amândoi mărturisesc și alte fapte vor primii câte 4 ani de pușcărie

Ce vor face Alin și Bogdan? Vor mărturisi sau vor nega?

Hai să ne punem în pielea lui Alin. Ce opțiuni are?

Dacă Bogdan nu zice nimic
 - Alin nu zice nimic - primește 2 ani pușcărie
 - Alin mărturisește - primește 1 an de pușcărie
Deci e mai profitabil să mărturisească pentru că primește 1 an

Dacă Bogdan mărturisește
 - Alin nu zice nimic - primește 10 ani pușcărie
 - Alin mărturisește - primește 4 ani de pușcărie
Deci e mai profitabil să mărturisească pentru că primește 4 ani în loc de 10

În ambele cazuri e mai profitabil pentru Alin să mărturisească.

Ce va face Bogdan? Exact la fel. Raționamentul este în oglindă așa că va ajunge la concluzia că cel mai bine pentru el este să mărturisească.
Așa că, într-un final, amândoi vor mărturisi și vor primi câte 4 ani de închisoare (cu 2 mai mult decât dacă n-ar fi zis nimic).

Situația de mai sus este o situație de echilibru Nash.

Echilibru Nash - situația în care fiecare participant alege varianta optimă pentru el, bazându-se pe deciziile anticipate ale celorlalți.

Dacă în exemplul de mai sus Alin și Bogdan ar fi stat în aceeași cameră n-ar fi avut niciunul niciun motiv să mărturisească pentru că cel mai profitabil pentru amândoi ar fi fost să tacă din gură. Dar pentru că nu știau fiecare ce va zice celălalt și pentru că încrederea nu era așa mare între ei au ales amândoi să mărturisească.

Hai să mai luăm un alt exemplu, de data asta mai apropiat de economie:

Să presupunem că două companii, Ace Industries și Best Industries produc umbrele. Costul pentru a produce o umbrelă e de 30 lei.
În condițiile actuale de piață fiecare companie produce câte 1 milion de umbrele și le vinde cu câte 50 lei. Deci fiecare companie face un profit de 20 milioane lei.
Ace Industries intuiește că ar mai fi un pic de loc de creștere pe piață. Dacă ar scădea prețul la 44 lei Ace Industries ar putea vinde 2 milioane de umbrele și astfel ar obține un profit mai mare - 26 milioane față de 20 milioane.
Dacă ar crește producția la 2 milioane de umbrele atunci și Best Industries va trebui să crească producția pentru că celor de la Best nu le-ar conveni să piardă 25% cotă de piață.
Deci, dacă Ace Industries va crește producția la 2 milioane atunci și Best Industries va crește producția la 2 milioane.  Ca să vândă tot ce au produs ambele companii vor fi nevoite să scadă prețul la 38 lei pentru fiecare umbrelă.
În cazul ăsta profitul lui Ace Industries va fi de doar 16 milioane lei, mai mic decât profitul inițial de 20 milioane. Așa că managerul companiei Ace, știind cum va reacționa managerul companiei Best va lua cea mai bună decizie pentru compania sa - adică să mențină nivelul inițial de producție.

Nivelul de producție de 1 milion de unități este un punct de echilibru Nash - niciuna din cele 2 companii nu va dori să iasă din acel punct de echilibru pentru că ar avea mai mult de pierdut decât de câștigat.